Євген Побігущий народився 15 листопада 1901 року в селі Постелівці Гусятинського р-ну на Тернопільщині в родині українських вчителів. Юнацькі літа провів у селі Воскресінці біля Коломиї.
До середньої школи ходив у місті Коломиї. З проголошенням Західно-Української Народної Республіки (ЗУНР) 1 листопада 1918 року, не маючи ще повних 17 літ, вступає добровольцем до лав Української Галицької Армії (УГА).
Незабаром отримує підстаршинський ступінь.
Після закінчення польсько-української війни в Галичині продовжує навчання, отримує ступінь маґістра з політичної економії у Познанському Університеті. Згодом стає вояком польської армії. Пізніше як кадровий офіцер (капітан, то зн. сотник) провадить підстаршинські вишколи. У вересні 1939 року бере участь у німецько-польській війні. На короткий час потрапляє в німецький полон, з якого згодом виходить на волю та на заклик Проводу ОУН зголошується до Військової Референтури.
Бере активну участь у вишколі вояків, які під назвою Дружини Українських Націоналістів (ДУН) із вибухом німецько-совєтської війни ідуть на Схід. Він командує одним із куренів (“Роланд”), а пізніше цілістю (202-ий батальйон). Коли частини ДУН не погодилися на умови, диктовані німецьким командуванням, ДУН розпускають (кінець 1942).
Влітку 1943 року Євген Побігущий зголосився до Дивізії “Галичина”. Брав участь в урочистостях у Львові 18 липня 1943 року, з нагоди виїзду перших добровольців. В Дивізії Побігущий займає різні командні становища, в тому командира 29-го полку. Учасник боїв під Фельдбахом. Пізніше командування УНА підвищує Євгена Побігущого до ранґи полковника.
По закінченні війни, не зважаючи на постійні вимоги совєтського уряду видати його до СССР, поринає у вир громадянсько-суспільної праці, працюючи в різних ділянках та українських товариствах, які постали в той час у Німеччині. Він довший час працює як старшина у Вартівничих Сотнях при англійській армії в Німеччині, бо знав, що Україна потребує багато людей, які б пройшли добрий військовий вишкіл. Крім громадської праці, він чимало часу присвятив політичній діяльності, зокрема в Організації Українських Націоналістів, працював в її установах, а також в міжнародній організації Антибольшевицького Блоку Народів.
За активну працю на релігійному полі Папа Павло VI надав йому титул Командора, Рицаря Ордену Святого Папи Сильвестра. Центральне представництво української еміґрації в Німеччині надало йому звання почесного члена.
Євген Побігущий помер 28-го травня 1995-го року в Гаар, біля Мюнхену, Німеччина.
Славної пам’яті полковник Побігущий мав у громаді велику пошану, а заразом і вдячність.
У житті був надзвичайно точний, акуратний та товариський. Він завжди намагався бути з людьми, дбати про них і виконувати доручені обов’язки.